（2010•浙江模拟）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，且PC1＝λCC1（0＜λ＜1

解题思路：（I）以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=1可得D、A、C、B₁、C₁、P各点的坐标，从而得到向量

BD

、

AP

的坐标，算出

BD

•

AP

＝0可得

BD

⊥

AP

，即对任意0＜λ＜1总有AP⊥BD；
（II）利用空间向量数量积为零的方法，建立方程组解出平面AB₁P的一个法向量为

n

＝(1，3，−

3

2

)，结合平面ABB₁的一个法向量为

m

＝(1，0，0)，利用空间向量的夹角公式算出

m

、

n

夹角的余弦，即可得到二面角P-AB₁-B的余弦值；
（III）由题结合图形，可得当

AP

分别与

AC

、

AB1

所成的角相等时，即存在实数λ满足条件，由此建立向量关系式，化简可得关于λ的方程，解之得λ＝

5− 10

4

∈(0，1)．由此可得存在满足题意的实数λ，使得AP在平面B₁AC上的射影平分∠B₁AC．

（I）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设AB=1，则可得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），
B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，2-2λ）
∴

BD＝(−1，−1，0)，

AP＝(−1，1，2−2λ)
可得

BD•

AP＝−1×(−1)+(−1)×1+0=0
∴

BD⊥

AP，即对任意0＜λ＜1，总有AP⊥BD；…（4分）
（II）由（I）及λ＝
1
3，得

AP＝(−1，1，
4
3)，

AB1＝(0，1，2)
设平面AB₁P的一个法向量为

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题在正四棱柱中求证线线垂直、并求二面角的大小．着重考查了正棱柱的性质、利用空间向量研究二面角和直线与平面所成角等知识，属于中档题．