如图所示,已知圆O与圆O撇相交于AB两点,过点A做圆O撇的切线交圆O于点C,过点B作两圆的割线分别交圆O圆O撇于E、F,

(1)证明：连结AB
∠BEC=∠CAB（同为弧BC所对的圆周角）
弦切角∠CAB=1/2·∠AO'B=∠AFP（弦切角定理）
即∠BEC=∠AFP
又因为∠EPC=∠APF（对顶角）
所以△EPC∽△FPA（∽△APB）
所以EP/FP=PC/PA（=EC/FA）
交叉相乘得PA·PE=PC·PF,得证.
(2)证明：
由（1）得
PA·PE=PC·PF①
由相交弦定理得
PE·PB=PC·PA②
①×②得PE·PB·PA·PE=PC·PA·PC·PF
即PE²·PB=PF·PC²,得证.
(3)圆O与圆O'为等圆,且PC：CE：EP=3：4:5
连结AE,AF
PC：CE：EP=3：4：5
即∠PCE=Rt∠
由（1）得
△EPC∽△FPA∽△APB
所以,
∠PAF=∠PBA=∠PCE=Rt∠
设∠CEP=∠PFA=∠PAB=α(sinα=3/5,cosα=4/5)
所以AE,AF为直径
因为圆O与圆O'为等圆
所以AE=AF
所以∠AFP=∠AEP=∠PEC=α
即EP为∠CEA的角平分线
由角平分线定理得
PC/PA=EC/EA=sin∠EAC=sin(∠EAB-∠PAB）=sin(90°-α-α)=sin(90°-2α）=cos2α=2cos²α-1=7/25
因为PC/PA为△EPC与△FPA的相似比,
所以△ECP与△FAP的面积的比值为（PC/PA）²,即49:625
附：解答过程中用到的定理百科.
相交弦定理：
http://baike.baidu.com/view/357874.htm
弦切角定理：
http://baike.baidu.com/view/378805.htm
角平分线定理
http://baike.baidu.com/view/276158.htm
希望能对你有所帮助~~