已知曲线C：y=x3-x+2和点A（1，2），求过点A的切线方程．

解题思路：根据所给的曲线的方程和曲线上一点，求过这一个点的切线的方程，首先对函数求导，求出函数在这一点的导数，即过这个点的切线的斜率，根据点斜式写出方程．

∵y=x³-x+2，
∴y′=3x²-1，
若点A（1，2）为切点，
则k=2
∴切线的方程是y-2=2（x-1），
即2x-y=0．
若A不为切点，则设切点为（x₁，y₁），
则y₁=x₁³-x₁+2，3x₁²-1=
y1−2
x1−1，
解得，x₁=-[1/2]，
∴切线方程为y-2=-[1/4]（x-1）即x+4y-9=0，
综上，过点A的切线方程为：2x-y=0，x+4y-9=0．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上过一个点的方程，本题解题的关键是看清楚这个点是不是曲线上的点，适合不是的处理方法不同．

C的斜率方程是：y‘=3x²-1
过点的切线方程是y-y0=k（x-x0）,
即：y-2=k(x-1)
切点方程和曲线C的交点是：3x²-1=y-2/x-1=x³-x/x-1=x(x+1)
所以，交点1(-1/2,19/8)点2(1,2)（舍去）,
则切线方程：y-2=-1/4(x-1)

注意本题的“过点A的…”，则点A未必是切点。
1、若A是切点，则k=f'(1)=2,；
2、若A不是切点，设切点是P(m，n)，则k=3m²－1，又AP斜率=(n－2)/(m－1)=f'(m)=3m²－1及点P在曲线上(n=m³－m＋2)，解出m=－1/2…

设切点为P（t,t^3-t+2),因为y'=3x^2-1，所以过P的切线方程为
y-(t^3-t+2)=(3t^2-1)(x-t) ........(*)
代入A(1,2)得：(t-1)^2*(2t+1)=0
解得t=1或t=-1/2
代入(*)式得2x-y=0或x+4y-9=0即为所求