设M,N是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的两个动点,O为坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-b^2/a^2
设M,N是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的两个动点,O为坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-b^2/a^2
则|OM|^2+|ON|^2等于
要过程谢谢
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设MN的坐标分别为（Xm,Ym),(Xn,Yn),则直线OM,ON的斜率分别为Ym/Xm,Yn/Xn.
所以Ym/Xm*Yn/Xn=-b^2/a^2,Xm^2/a^2+Ym^2/b^2=1,Xn^2/a^2+Yn^2/b^2=1.
所以（Ym^2*Yn^2）/（Xm^2*Xn^2）=b^4/a^4 （1）
Xm^2=a^2*（1-Ym^2/b^2） （2)；Xn^2=a^2*（1-Yn^2/b^2） （3）
（2）（3）带入（1）可得：Ym^2+Yn^2=b^2 （4）
所以Xm^2+Xn^2=a^2*（1-Ym^2/b^2）+a^2*（1-Yn^2/b^2）=a^2*（2-Ym^2/b^2-Yn^2/b^2）=a^2
|OM|^2+|ON|^2=（Xm^2+Ym^2）+（Xn^2+Yn^2）=（Xm^2+Xn^2）+（Ym^2+Yn^2）=a^2+b^2
所以Ym/Xm*Yn/Xn=-b^2/a^2,Xm^2/a^2+Ym^2/b^2=1,Xn^2/a^2+Yn^2/b^2=1.
所以（Ym^2*Yn^2）/（Xm^2*Xn^2）=b^4/a^4 （1）
Xm^2=a^2*（1-Ym^2/b^2） （2)；Xn^2=a^2*（1-Yn^2/b^2） （3）
（2）（3）带入（1）可得：Ym^2+Yn^2=b^2 （4）
所以Xm^2+Xn^2=a^2*（1-Ym^2/b^2）+a^2*（1-Yn^2/b^2）=a^2*（2-Ym^2/b^2-Yn^2/b^2）=a^2
|OM|^2+|ON|^2=（Xm^2+Ym^2）+（Xn^2+Yn^2）=（Xm^2+Xn^2）+（Ym^2+Yn^2）=a^2+b^2
1年前
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