设A、B为椭圆x^2/4+y^2/3=1上的两个动点,若过A、B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上.

设A、B为椭圆x^2/4+y^2/3=1上的两个动点,若过A、B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上.
求证:直线AB恒过一个定点.
【答案是(4/5,6/5)】
west666 1年前 已收到2个回答 举报

rhythmm 幼苗

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设A的坐标为(a,b),B的坐标为(c,d),分别过A、B的两切线相交于P(m,n).则:
PA的方程是:ax/4+by/3=1,  PB的方程是:cx/4+dy/3=1.
联立:ax/4+by/3=1、cx/4+dy/3=1,解得:
x=4(d-b)/(ad-bc), y=3(a-c)/(ad-bc).
即:m=4(d-b)/(ad-bc), n=3(a-c)/(ad-bc).
又点P(m,n)在直线x+2y=5上, ∴4(d-b)/(ad-bc)+6(a-c)/(ad-bc)=5,
∴4(d-b)+6(a-c)=5(ad-bc).······①
由直线的两点式,得:AB的方程是(y-a)/(x-b)=(b-d)/(a-c).
∴当某定点(p,q)在直线AB上时,就有:(q-b)/(p-a)=(b-d)/(a-c),
∴(q-b)(a-c)=(b-d)(p-a),
∴q(a-c)-b(a-c)=p(b-d)-a(b-d),
∴p(d-b)+q(a-c)=b(a-c)-a(b-d)=ab-bc-ab+ad=ad-bc,
∴5p(d-b)+5q(a-c)=5(ad-bc).······②
∵在②中,令p=4/5、q=6/5,便可得到等式①,这说明点(4/5,6/5)满足②.
∴点(4/5,6/5)在直线AB上.
∴直线AB恒过一个定点,且这个定点是(4/5,6/5).

1年前

9

妖影朵朵 幼苗

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不粗

1年前

1
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