已知F 1 （-1，0），F 2 （1，0）为平面内的两个定点，动点P满足 |P F 1 |+|P F 2 |=2 2

（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F ₁ （1，0），F ₂ （-1，0）的距离之和为定值 2
2 ，
所以点P的轨迹是以F ₁ （1，0），F ₂ （-1，0）为焦点的椭圆．…（2分）
又 a=
2 ，c=1，所以b=1，
故所求方程为
x 2
2 + y 2 =1 ．…（4分）
（Ⅱ）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），C（x ₃ ，y ₃ ）．
由

OA +

OB +

OC =

0 ，得x ₁ +x ₂ +x ₃ =0，y ₁ +y ₂ +y ₃ =0．…（5分）
（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），
代入x ² +2y ² =2并整理得，（1+2k ² ）x ² +4knx+2n ² -2=0，
依题意，△＞0，则 x 1 + x 2 =-
4kn
1+2 k 2 ， y 1 + y 2 =k( x 1 + x 2 )+2n=
2n
1+2 k 2 ，
从而可得点C的坐标为 (
4kn
1+2 k 2 ，-
2n
1+2 k 2 ) ， k OC =-
1
2k ．
因为 k AB • k OC =-
1
2 ，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）
（ⅱ）若AB⊥x轴时， A(-1，

2
2 )，B(-1，-

2
2 ) ，由

OA +

OB +

OC =

0 ，
得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．
因此直线AB的斜率存在．…（9分）
由（ⅰ）可知，当直线AB过点F ₁ 时，有n=k，点C的坐标为 (
4 k 2
1+2 k 2 ，-
2k
1+2 k 2 ) ．
代入x ² +2y ² =2得，
16 k 4
(1+2 k 2 ) 2 +
8 k 2
(1+2 k 2 ) 2 =2 ，即4k ² =1+2k ² ，
所以 k=±

2
2 ．…（11分）
（1）当 k=

2
2 时，由（ⅰ）知， k• k OC =-
1
2 ，从而 k OC =-

2
2 ．
故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高 h=
1
2 ×

2
2 =

2
4 ，所求等腰三角形的面积 S=
1
2 ×1×

2
4 =

2
8 ．
（2）当 k=-

2
2 时，又由（ⅰ）知， k• k OC =-
1
2 ，从而 k OC =

2
2 ，
同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

2
8 ．
综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

2
8 ．…（13分）