（2011•重庆二模）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F(−23，0)，上下顶点分别为A，B
（2011•重庆二模）如图，椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l交椭圆C于M、N两点，求证：|MN|=[8
赞 陶猫吉 春芽
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解题思路：（I）利用左焦点为F(−23，0)，上下顶点分别为A，B，△AFB是等边三角形，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，计算|MN|，即可得到结论．
（I）由题意，c＝2
3，
3b＝c，∴b=2
∴a＝
b2+c2=4
∴椭圆C的方程为
x2/16+
y2
14＝1；
（Ⅱ）证明：当α≠
π
2]时，设k=tanα，l：y＝k(x+2
3)
代入
x2
16+
y2
14＝1，可得（1+4k2）x2+16
3k2x+48k2-16=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
16
3k2
1+4k2，x1x2=
48k2−16
1+4k2
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2−4x1x2=
8
1+k2
1+4k2
∴|MN|=
1+k2|x1−x2|=
8(1+k2)
1+4k2=
8(1+tan2α)
1+4tan2α=[8
4−3cos2α
当α＝
π/2]时，|MN|=2，
8
4−3cos2α=2，∴|MN|=
8
4−3cos2α．
点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．
1年前
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