豆鼠 幼苗
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原方程即cosx=lg|x|,在同一坐标系内作出y=cosx与y=lg|x|的图象
由于两个函数均为偶函数,因此方程的根必定为偶数,只须研究当x≥0时的图象
∵x≥0时,cos[π/3]=[1/2]>lg[π/3],且cosπ=-1<lgπ
∴在区间[0,π]上,两个图象有一个交点
又∵当x∈(π,3π)时,lgx∈(0,1),
而cosx在(π,2π)上为增函数,在(2π,3π)上为减函数,最大值为1
∴在区间(π,3π)上,两个图象有两个交点
而当x≥3π时,易得在[3π,10]上两个图象没有交点
由于在区间(10,+∞)上,lgx>1恒成立而cosx≤1,两个图象也没有交点
∴两图象在x≥3π时没有交点.
综上所述,当x≥0时,y=cosx与y=lg|x|的有3交点,得cosx=lg|x|有三个不同的根
结合两个函数均为偶函数,得当x<0时,cosx=lg|x|也有三个不同的根,故方程cosx-lg|x|=0的根的个数为6
故选:D
点评:
本题考点: 余弦函数的图象;根的存在性及根的个数判断.
考点点评: 本题给出关于余弦函数、对数函数的一个方程,讨论方程根的个数.着重考查了基本初等函数的图象与性质、根的存在性定理和对数、三角函数值的计算等知识,属于中档题.
1年前
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若关于x的方程为x2+1=2011/x ,则该方程解的个数为
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