高中数学三角函数问题已知a=（sin（2α+β）,sinβ）,b=（3,1）,且a∥b,设tanα=x,tanβ=y,记

已知sin（2α β）=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=f（x）,
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）若α角是一个三角形的最小内角,试求函数f（x）的值域．
考点：两角和与差的余弦函数,基本不等式,两角和与差的正弦函数
专题：计算题
分析：（1）把已知条件等号左边2α β变为（α β） α,把等号右边β变为（α β）-α,然后两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简,合并后把弦化为切得到tan（α β）=2tanα,再把等号左边利用两角和的正切函数公式化简后,把tanα=x,tanβ=y代入即可得到y与x的表达式；（2）由α是三角形的最小内角得到α大于0小于等于
π
3
,则tanα=x就大于0小于等于
3
,得到f（x）大于0,可设g(x)＝2x
1
x
,利用基本不等式求出g（x）的最小值,即为f（x）的最大值,即可得到f（x）的值域．
（1）由sin（2α β）=3sinβ,得sin[（α β） α]=3sin[（α β）-α],
sin（α β）cosα cos（α β）sinα=3sin（α β）cosα-3cos（α β）sinα,
∴sin（α β）cosα=2cos（α β）sinα,
∴tan（α β）=2tanα,
由tanα=x,tanβ=y,则
tanα tanβ
1−tanαtanβ
＝2tanα,即
x y
1−xy
＝2x,
∴y＝
x
1 2x2
,即f（x）=
x
1 2x2
．
（2）∵α角是一个三角形的最小内角,∴0＜α≤
π
3
,0＜x≤
3
,
设g(x)＝2x
1
x
,则g(x)＝2x
1
x
≥2
2
（当且仅当x＝
2
2
时取等号）,
故函数f（x）的值域为(0,
2
4
]．