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求由曲线 y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转的旋转体体积:
为求它的体积,我们采用微元法,首先建立微分表达式:
在[a,b]中任取[x,x+dx],将旋转体中相应的厚度为dx的薄片体积,近似地用一个底面积为π[f(x)]^2,高为dx的圆柱体代替,则可得积分表达式为 dV = π[f(x)]^2 dx;然后,将dV在[a,b]上“加起来”,即得旋转体的体积为 V = ∫[a,b] π[f(x)]^2 dx
类似地,可得:
由曲线 x=g(y),y=a,y=b以及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转的旋转体体积为 V = ∫[a,b] π[g(y)]^2 dy
注:∫[a,b]表示以a为下限,b为上限的定积分。
1年前
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