[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h
[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：______；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：______；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
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解题思路：（1）图②-⑤中的关系依次是h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h．
（2）解直角三角形得出h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，求出h1+h2+h3=ACsin60°，即可得出答案；
（3）根据三角形面积公式和等边三角形性质得出[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF，AB=BC=AC，即可得出答案；
（4）连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，求出BR、CS，根据面积公式求出即可．
（2）解直角三角形得出h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，求出h1+h2+h3=ACsin60°，即可得出答案；
（3）根据三角形面积公式和等边三角形性质得出[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF，AB=BC=AC，即可得出答案；
（4）连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，求出BR、CS，根据面积公式求出即可．
（1）图②-⑤中的关系依次是：
h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
证明：∵h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，
∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．
（3）证明：如图，
连接AP、BP、CP，
S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF，
∵AB=BC=AC，
∴PD+PE+PF=AM，
即h1+h2+h3=h；
（4）
连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，
则RQ∥SF，
∵RS∥BC，
∴四边形RQFS是平行四边形，
∴RS=QF=n，
∵梯形RBCS是等腰梯形，
∴BQ=FC=[1/2]（m-n），
∵∠B=∠C=60°，
∴BR=CS=2BQ=（m-n），
∴S梯形BCRS=S△BRP+S△BCP+S△CSP+S△RPS，
∴[1/2]•（m-n）•h1+[1/2]•m•h2+[1/2]•（m-n）•h3+[1/2]•n•h4=[1/2]（m+n）h
∴（m-n）h1+mh2+（m-n）h3+nh4=（m+n）h，
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h，
∴图（4）与图（6）中的等式有当n=0时，图形（6）的等式就变成图形（4）的等式，
故答案为：m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h．
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 本题考查了三角形面积，平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，由一定的难度．
1年前
8
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