如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的
如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，[1/2]AB．h1+[1/2]AC．h2=[1/2]BC．h，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图②所得结论为什么是正确的；
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．
图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图②所得结论为什么是正确的；
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．
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解题思路：（1）根据已知可以证得：②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h；
（2）连接AP，可得S△APB+S△APC=S△ABC，由h3=0，AB=AC=BC，即可证得h1+h2+h3=h；
（3）连接PA、PB、PC，可得S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h1+h2=h+h3，则可得h1+h2-h3=h．
（2）连接AP，可得S△APB+S△APC=S△ABC，由h3=0，AB=AC=BC，即可证得h1+h2+h3=h；
（3）连接PA、PB、PC，可得S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h1+h2=h+h3，则可得h1+h2-h3=h．
（1）②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
连接AP，
则S△APB+S△APC=S△ABC，
∴[1/2]AB×h1+[1/2]AC×h2=[1/2]BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h．
（3）图⑤中，h1+h2-h3=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC．
∴[1/2]AB×hl+[1/2]AC×h2=[1/2]BC×h+[1/2]BC×h3
又AB=AC=BC，
∴h1+h2=h+h3．
∴h1+h2-h3=h．
点评：
本题考点： 等边三角形的性质；三角形的面积．
考点点评： 此题考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
1年前
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