已知函数f（x）=x^2+3x|x-a|,其中a∈R．

已知函数f（x）=x^2+3x|x-a|,其中a∈R．
（1）当a=1/3时,方程f（x）=b恰有三个根,求实数b的取值范围；
（2）当a=1/3时,是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n],若存在,请求出所有可能的区间[m,n],若不存在请说明理由；
（3）若a＞0,函数f（x）在区间（m,n）上既有最大值又有最小值,请分别求出m,n的取值范围（用a表示）．
(1)解析：∵函数f（x）=x^2+3x|x-a|,当a=1/3时,方程f（x）=b恰有三个根
设g(x)=4x^2-x-b (x>=1/3)
令g’(x)=8x-1=0==>x=1/8==>g(x)在x=1/8处取极小值
∵1/8g(x)在x=1/4处取极大值
∵1/40==>b1/9
即1/94x^2-2x=0==>x1=0,x2=1/2
∵x10时,显然9a^2/8>a^2
令-2x^2+3ax=a^2
解得x1=a/2,x2=a
令4x^2-3ax=9/8a^2
则a