已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交

已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图
（1）证明：
OM
•
OP
为定值；
（2）若△POM的面积为[5/2]，求向量
OM
与
OP
的夹角；
（3）证明直线PQ恒过一个定点．
wkk821006 1年前 已收到1个回答 举报
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mmsayno 幼苗

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解题思路：（I）设点M（
y12
4
，y1），P（
y22
4
，y2），由已知条件推导出
y1
y12+4
＝
1
y1+y2
，由此能证明
OM
•
OP
为宝值5．
（II）设∠POM=α，则|
OM
|•|
OP
|•cosα=5，由此能求出
OM
与
OP
的夹角．
（Ⅲ）设点Q（
y32
4
，y3），由已知条件推导出y1y3+y1+y3+4=0，由此能证明直线PQ过定点E（1，-4）．

（I）证明：设点M（y124，y1），P（y224，y2），∵P、M、A三点共线，∴kAM=kPM，即y1y14+1＝y1−y2y124−y224，∴y1y12+4＝1y1+y2，∴y1y2=4，…（2分）∴OM•OP=y124•y224+y1y2＝5．…（5分）（II）设∠POM=α，则...

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查向量的数量积为定值的证明，考查两向量的夹角的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意向量的数量积公式的合理运用．

1年前

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