开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2=k，k
开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即
=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太．
| a3 |
| T2 |
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解题思路：行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时
=k应改为
=k，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；
| a3 |
| T2 |
| r3 |
| T2 |
因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有
Gm行M太
r2=m行(
2π
T)2r①
于是有
r3
T2=
G
4π2M太 ②
即k=
G
4π2M太
答：太阳系中该常量k的表达式是 k=
G
4π2M太．
点评：
本题考点： 开普勒定律．
考点点评： 本题就是考察学生对开普勒行星运动第三定律的理解和应用，掌握住开普勒行星运动第三定律和万有引力定律即可求得结果，式中的常量k必修是相对于同一个中心天体来说的．
1年前
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