（2007•潮南区模拟）已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F为AB边的中点，直线EF交边BC于E，且si
（2007•潮南区模拟）已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F为AB边的中点，直
线EF交边BC于E，且sin∠BEF=
，P为线段EF上一动点，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直线EF的函数解析式并注明自变量取值范围；
（2）求矩形ONPM的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似吗？若相似，求出此时点P的坐标；若不相似，请简要说明理由．
线EF交边BC于E，且sin∠BEF=
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（1）求直线EF的函数解析式并注明自变量取值范围；
（2）求矩形ONPM的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似吗？若相似，求出此时点P的坐标；若不相似，请简要说明理由．
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（1）∵F为AB中点，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F（6，2），
在Rt△BEF中，EF=[BF/sin∠BEF]=
2
5
5=2
5，
∴BE=
EF2−BF2＝
(2
5)2−22＝4，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
设直线EF的函数解析式为y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分别代入
解得：k＝−
1
2，b＝5，
∴直线EF的函数解析式为y＝−
1
2x+5（2≤x≤6）．
（2）设矩形ONPM的面积为S，
∵点P在直线y＝−
1
2x+5上，
∴OM=x，ON=y＝−
1
2x+5，
∴S=x(−
1
2x+5)=−
1
2(x−5)2+
25
2，
∴矩形ONPM的面积S的最大值为[25/2]，
此时，x=5，点P的坐标为（5，
∴AF=2，BF=2，F（6，2），
在Rt△BEF中，EF=[BF/sin∠BEF]=
2
5
5=2
5，
∴BE=
EF2−BF2＝
(2
5)2−22＝4，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
设直线EF的函数解析式为y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分别代入
解得：k＝−
1
2，b＝5，
∴直线EF的函数解析式为y＝−
1
2x+5（2≤x≤6）．
（2）设矩形ONPM的面积为S，
∵点P在直线y＝−
1
2x+5上，
∴OM=x，ON=y＝−
1
2x+5，
∴S=x(−
1
2x+5)=−
1
2(x−5)2+
25
2，
∴矩形ONPM的面积S的最大值为[25/2]，
此时，x=5，点P的坐标为（5，
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