已知关于x的方程m2x2+（2m+3）x+1=0①的两实根的乘积等于1．

证明：（1）∵方程①两实根乘积等于1，
∴m≠0，
1
m2＝1，m＝±1，
经检验m=±1是方程的根．
当m=1时，x²+5x+1=0，符合题意．
m=-1时，x²+x+1=0，△=1-4＜0．
∴m=-1舍去，
∴m=1．
把m=1代入方程②，得（k-2）x²-2（k-1）x+（k+1）=0（k≤3）．
当k=2时，方程②为一元一次方程，−2x+3＝0，x＝
3
2，有实根；
当k≤3且k≠2时，方程②为一元二次方程，（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，
∵△=[-2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=4（k²-2k+1）-4（k²-k-2）=-4k+12，
又∵k≤3，
∴-4k≥-12，
∴-4k+12≥0，
∴方程②有实根．
综上，可知关于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）有实数根；
（2）设x₁、x₂是方程②的两根，由题意，得
x₁²+x₂²=2x₁x₂①，x₁+x₂=
2(k−1)
k−2②，x₁•x₂=[k+1/k−2]③，
由①得x₁²+x₂²-2x₁x₂=0，
∴（x₁-x₂）²=0，
∴x₁=x₂④．
把④式代入②，得2x₁=
2(k−1)
k−2，∴x₁=[k−1/k−2]，
把④式代入③，得x₁²=[k+1/k−2]，
∴(
k−1
k−2)2＝
k+1
k−2，k≠2，(k−1)2＝(k+1)(k−2)，
∴k=3．
当k=3时，x₁=x₂=2．
∵△ABC三边均为整数，
∴设第三边为n，则2-2＜n＜2+2，
∴0＜n＜4．
∵n是整数，
∴n=1，2，3．
当n=2时，△ABC为等边三角形．
当n=1或3时，△ABC为等腰三角形，其中n=1时，是等腰锐角三角形；n=3时，是等腰钝角三角形．

点评：
本题考点： 根与系数的关系；解一元一次方程；一元二次方程的定义；根的判别式；解分式方程；三角形三边关系．

考点点评： 本题主要考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，一元一次方程、分式方程的解法，三角形三边关系定理及三角形的分类，综合性较强，难度中等．

1年前

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