已知函数f（x）=[1−x/ax]+lnx（x＞0）．

（1）当a=1时，f（x）=[1/x+lnx−1，f′(x)＝
1
x−
1
x2＝
x−1
x2]，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，当[1/2]＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，
所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，
又f（[1/2]）=1-ln2，f（2）=ln2-[1/2]，
所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．
（2）f′(x)＝
1
x−
1
ax2＝
ax−1
ax2，
因为a为正实数，由定义域知x＞0，
所以函数的单调递增区间为[
1
a，+∞)，
又函数f（x）在[
1
2，+∞)上为增函数，所以0＜
1
a≤
1
2，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[[1/e]，e]内恰有两个相异的实数根，
推得方程[1−x/2x+lnx−m＝0在区间[
1
e]，e]内恰有两个相异的实数根，即方程[1−x/2x+lnx＝m在区间[
1
e]，e]内恰有两个相异的实数根，
则函数g(x)＝
1−x
2x+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[[1/e]，e]内恰有两个交点．
考察函数g(x)＝
1−x
2x+lnx，g′(x)＝−
1
2x2+
1
x＝
2x−1
2x2，则g（x）在区间[
1
e，
1
2]为减函数，在[
1

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的最值、函数的单调性及函数的零点问题，考查函数思想、数形结合思想、转化思想．

1年前

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