已知函数f(x)＝lnx−ax+1−ax−1．

（Ⅰ）求导函数可得：f′(x)＝
1
x−a−
1−a
x2＝
−ax2+x−(1−a)
x 2=−
[ax−(1−a)](x−1)
x2(x＞0)
令f′（x）=0，得x1＝
1−a
a， x2＝1…（3分）
当a＝
1
2时，f'（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减…（4分）
当0＜a＜
1
2时，[1−a/a＞1，在（0，1）和(
1−a
a，+∞)上，有f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在(1，
1−a
a)上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增…（6分）
（Ⅱ）当a＝
1
4]时，[1−a/a＝3，f(x)＝lnx−
1
4x+
3
4x−1
由（Ⅰ）知，函数f（x）在（0，1）上是单调递减，在（1，2）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，2）的最小值为f(1)＝−
1
2]…（8分）
若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需当x∈[1，2]时，g（x）_max≤-[1/2]即可，
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
当b＜1.5时，g（x）_max=g（2）=8-4b≤-[1/2]，b≥[17/8]，不合题意，舍去，
当b＞1.5时，g（x）_max=g（1）=5-2b，b≥[11/4]．
综上，实数b的取值范围是[[11/4]，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，解题的关键是将对任意x1∈（0，2），当x2∈[1，2]时，f（x1）≥g（x2）恒成立，转化为只需当x∈[1，2]时，gmax（x）≤f（x）min．

1年前

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