已知函数f（x）=log2（2x+1）．

解题思路：（1）利用函数单调性的定义，证明函数f（x）在R上单调递增，步骤为取值、作差、变形定号、下结论；
（2）关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，转化为求m=g（x）-f（x）在[1，2]上的值域问题．

（1）证明：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂
2x1+1
2x2+1
∵x₁＜x₂，∴0＜
2x1+1
2x2+1＜1，∴log₂
2x1+1
2x2+1＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）∵g（x）=log 2(2x−1)，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log 2(2x−1)-log₂（2^x+1）=log₂（1-[2
2x+1）．
当1≤x≤2时，
2/5≤
2
2x+1≤
2
3]，
∴[1/3]≤1-[2
2x+1≤
3/5]
∴m的取值范围是[log2
1
3，log2
3
5]．

点评：
本题考点： 复合函数的单调性；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考查函数单调性的证明，考查学生转化问题的能力，考查求函数的值域，属于中档题．