用数学归纳法证明a^(n+1)｜((a+1)^b+1)

用数学归纳法证明a^(n+1)｜((a+1)^b+1)
已知a,b是正整数,n为非负整数,a^n｜b,证明a^(n+1)｜((a+1)^b+1)
应该是a^(n+1)｜((a+1)^b-1)

zhyueyi 1年前已收到1个回答举报

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这题目不是那么显然,否则我也就不帮你解了.
首先n=0时显然,我不验证了.
对于n>0,若a^n|b,那么a^{n-1}|(b/a),——这一步是关键
由归纳假设得a^{n-1}|[(a+1)^{b/a}-1].记x=(a+1)^{b/a},那么
(a+1)^b-1 = x^a-1 = (x-1)(x^{a-1}+x^{a-2}+...+1)
a^{n-1}|(x-1),又a|(x^{a-1}+x^{a-2}+...+1),从而a^n|(x^a-1),即得结论.

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