（2012•泰兴市一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动

（2012•泰兴市一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形；
（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）若BC的长可以变化，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由，若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

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wszbr 幼苗

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解题思路：1、过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易证：△DPH∽△PEB⇒[DH/PH＝

EB]，即[4/x−2

＝

8−x

y]，故可求得y与x的关系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出[a/8−x]=[x−2/y]，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．

（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2
5．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情况①：当AP=AD时，即x=2
5．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x-2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2
5、4、5时，△APD是等腰三角形．

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴[DH/PH＝
PB
EB]，
∴[4/x−2＝
8−x
y]．
整理得：y=[1/4]（x-2）（8-x）=-[1/4]x²+[5/2]x-4．

（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴[a/8−x]=[x−2/y]，
∴y=
(8−x)(x−2)
a，
当y=a时，
（8-x）（x-2）=a²
x²-10x+（16+a²）=0，
∴△=100-4（16+a²），
∵△≥0，
∴100-64-4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．

点评：
本题考点：梯形；根的判别式；由实际问题抽象出一元二次方程；三角形的稳定性；等腰三角形的判定；勾股定理；多边形的对角线；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题利用了梯形和矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的根的判别式求解．

1年前

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