已知数列{an}中,a1=2,点（an,an+1）在直线y=2x+1上
已知数列{an}中,a1=2,点（an,an+1）在直线y=2x+1上
（1)求数列{an}通项公式
（2）证明：1/1+a1+1/1+a2+…+1/1+an＜2/3（n∈n*）
（1)求数列{an}通项公式
（2）证明：1/1+a1+1/1+a2+…+1/1+an＜2/3（n∈n*）
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(1)由题可知：A(n+1)=2An+1
所以：A(n+1）+1=2（An+1）
则 [ A(n+1)+1]/(An+1)=2
所以 An+1是以a1+1=3为首项2为公比的等比数列
因此 An+1=3*2^（n-1）
An=3*2^(n-1)-1
(2)由（1）得1/1+A1+1/1+A2+...+An
=1/（1+3*2^0-1）+1/（1+3*2^1-1）+...+1/（1+3*2(n-1)-1）
=1/3+1/3*2+...1/3*2^（n-1)
=1/3(1+1/2+...+1/2^(n-1)
=1/3[(1-1/2^n)/(1-1/2)
=1/3[2-1/2^（n-1)]
=2/3-1/3*2^(n-1)
所以：A(n+1）+1=2（An+1）
则 [ A(n+1)+1]/(An+1)=2
所以 An+1是以a1+1=3为首项2为公比的等比数列
因此 An+1=3*2^（n-1）
An=3*2^(n-1)-1
(2)由（1）得1/1+A1+1/1+A2+...+An
=1/（1+3*2^0-1）+1/（1+3*2^1-1）+...+1/（1+3*2(n-1)-1）
=1/3+1/3*2+...1/3*2^（n-1)
=1/3(1+1/2+...+1/2^(n-1)
=1/3[(1-1/2^n)/(1-1/2)
=1/3[2-1/2^（n-1)]
=2/3-1/3*2^(n-1)
1年前
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