关于x的方程a（1+i）x2+（1+a2i）x+a2+i=0 （a∈R）有实根，求a的值及方程的根．

解题思路：设x=x₀是原方程的根，则a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0，即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
根据复数相等的条件可得

ax02+x0+a2＝0 ax02+a2x0+1＝0

，从而可求

设x=x₀是原方程的根，则a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0
即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
∴

ax02+x0+a2＝0
ax02+a2x0+1＝0
两式相减可得，（a²-1）x=a²-1
（1）当a²-1≠0时，x₀=1代入原方程可得，a²+a+1=0没有实根
（2）当a²-1=0时，若a=1，则x₀²+x₀+1=0没有实根
若a=-1，则x²-x-1=0，解得x0＝
1±
5
2
综上可得a＝−1，x＝
1±
5
2

点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查 实系数方程的根的求解，解答的关键是根据复数相等的条件：当且仅当实部与虚部分别相等．