矩阵的特征值特征向量是怎么想出来的

如果你有数学专业背景,这个简单:
特征值和特征向量,与相似是密不可分的.我们知道矩阵的相似是一个很重要的概念.有很多在矩阵上的函数,是具有相似不变性的.比如A与B相似,那么他们的行列式以及秩以及迹是一定相等的.就是"行列式"等函数,只要是相似矩阵,他的函数值就相等.这叫相似不变性.比如,我们为了研究矩阵A的一些性质,但是矩阵A非常不好,我们可以转而研究他的相似矩阵B.
我们线代学过,实对称矩阵相似于对角阵,任一复矩阵正交相似于复上三角阵等等一些定理.其基本,就是为了根据相似不变性或相似关系,使不明朗不好看的A转而研究好看的B.
一些人渐渐发现Ax=aX这样的关系,能够使矩阵A,化成与a有关系的上三角阵甚至对角阵,所以
形如Ax=aX的a以及非零的x就很重要了
特征值和特征向量,从线性变换的角度上讲,是为了让变换更简洁.有了上边的思想,我们与合同比较,合同是为了合同不变性的矩阵提出的概念,它对应与线性空间V上的二次型或是对称双线性型.同理对应于线性空间V上的线性变换,提出了的概念,提出了不变子空间的概念.
我来详细解释下,V上的线性变换在某一基下会对应唯一的矩阵表示A.就是说基的选择决定了线性变换的表出矩阵.同一变换在不同的基下的矩阵表出A与B的关系就是相似.
为了更好地研究线性变换,我们为什么不找出一个形式简单的矩阵表出呢?只需要选的基恰好,他的线性表出矩阵A就会有很好的性质(例如上三角阵 对角阵)因此,人们一直试图找到线性变换的简单矩阵表出形式以更好地研究抽象的线性变换.
继续,同一变换不同基下的矩阵表出是相似关系,就又回到第一点上,已知性质不好的矩阵A,怎么找到相似的矩阵B问题上了.
更重要的是,与之发展起来的不变子空间原理:我们研究线性空间V,发现他的一维线性不变子空间,正是特征子空间,特征向量又进一步渗透于不变子空间的性质中了.由不变子空间可以导出直和等概念,使得线性变换的表出矩阵兴致很好.
甚至进一步,有广义特征向量的概念:对应于线性变换的循环分解:就是(aE-A)的某次方x=0.都是为了使表出矩阵性质更好,形势更简单