如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4
如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分
别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．
（1）写出点B的坐标；
（2）t为何值时，MN=[1/2]AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．
别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．（1）写出点B的坐标；
（2）t为何值时，MN=[1/2]AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．
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（1）点B的坐标是（3，4）；（1分）
（2）当0＜t≤3时，∵MN∥AC，且MN=[1/2]AC，
∴M是AB的中点；
∴t=1.5秒；
当3＜t＜6时，
设直线m与x轴交点为D，
∵MN∥AC且MN=[1/2]AC，
∴M为AB的中点；
可证：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴[BN/BC=
MN
AC]
∴[t-3/3]=[1/2]；
∴t=4.5秒；
当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=[1/2]AC；（3分）
（3）当0＜t≤3时，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得[OM/OA=
ON
OC]，
∴ON=[3/4]t，S=[2/3]t2；（4分）
当3＜t＜6时，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=[4/3]BN=8-[4/3]t，
∴AM=-4+[4/3]t；
S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
=12-[3/2]（-4+[4/3]t）-[1/2]×（8-[4/3]t）（6-t）-[4/2]（t-3）
=-[2/3]t2+4t；
当0＜t≤3时，
∵抛物线S=[2/3]t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，
∴当t=3时，S可取到最大值[2/3]×32=6．
当3＜t＜6时，
∵抛物线S=-[2/3]t2+4t的开口向下，它的顶点是（3，6），
∴S＜6；（8分）
综上，当t=3时，S有最大值6．
（2）当0＜t≤3时，∵MN∥AC，且MN=[1/2]AC，
∴M是AB的中点；
∴t=1.5秒；
当3＜t＜6时，
设直线m与x轴交点为D，
∵MN∥AC且MN=[1/2]AC，
∴M为AB的中点；
可证：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴[BN/BC=
MN
AC]
∴[t-3/3]=[1/2]；
∴t=4.5秒；
当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=[1/2]AC；（3分）
（3）当0＜t≤3时，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得[OM/OA=
ON
OC]，
∴ON=[3/4]t，S=[2/3]t2；（4分）
当3＜t＜6时，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=[4/3]BN=8-[4/3]t，
∴AM=-4+[4/3]t；
S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
=12-[3/2]（-4+[4/3]t）-[1/2]×（8-[4/3]t）（6-t）-[4/2]（t-3）
=-[2/3]t2+4t；
当0＜t≤3时，
∵抛物线S=[2/3]t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，
∴当t=3时，S可取到最大值[2/3]×32=6．
当3＜t＜6时，
∵抛物线S=-[2/3]t2+4t的开口向下，它的顶点是（3，6），
∴S＜6；（8分）
综上，当t=3时，S有最大值6．
1年前
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