设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3

设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3
（保加利亚数学奥林匹克试题）
请认真回答，好的我会进行追加分的
月影无极 1年前 已收到9个回答 举报
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路过D 幼苗

共回答了18个问题采纳率：88.9% 举报

其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对.(看图片,文字是latex代码)由于对于任意$x,y,z ge 0$,有$(x+y+z)^2 ge 3(xy+yz+zx)$.把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 ...

1年前

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wangyidan 幼苗

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难哦

1年前

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lhfaxq 幼苗

共回答了238个问题 举报

证明：∵a、b、c∈R+，且a+b+c=3，
∴设a=1-x,b=1，c=1+x,x＜1
abc(a^2+b^2+c^2)=(1-x^2)[(1-x)^2+1+（1+x)^2]=(1-x^2)(3+2x^2)=3-x^2-2x^4≤3

1年前

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alexliqi 幼苗

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杨满川老师 :你只假定了b=1时 的特殊情况,

1年前

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五行山 幼苗

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(1)首先由不等式定理x^3+y^3+z^3>=3xyz,(x、y、z∈R+)知：a、b、c∈R+，且a+b+c=3推出：
abc<=1 ----------(*1)
(2)然后（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，这其中有：
2ab+2ac+2bc>=6(abc...

1年前

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lmh562100 幼苗

共回答了80个问题 举报

郁闷啊！刚答的好像都不见了，估计我手机输入长度有限制，我简要述说思路，设b为已知，令a=(3/2-b/2)- 根号t，c=(3/2-b/2)+根号t，b有范围，设函数=左边-3，得到关于t的二次函数，开口向下，只要证明最大值恒小于等于0！其最大值函数是把对称轴带入，得到关于b的函数，求导，得最大值函数的最大最小值，其最大值也是小于等于0的，就证明了！
借鉴于杨满川老师的方法，致敬！...

1年前

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天鹅ll 幼苗

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令f(x)=x^2 易知，f(x)是凸函数
由琴生不等式，知 f((a+b+c)/3)≤(f(a)+f(b)+f(c))/3
即 ((a+b+c)/3)^2=1≤(a^2+b^2+c^2)/3
由均值不等式，a+b+c=3 知 abc≤1
非常抱歉，只能做到这儿了。式子的不等号方向存在问题

1年前

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鳗鱼家族 幼苗

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关注，lz还没加分啊，好难的题目
ls只证明了<=81/24=3.3 而不是3
如果b=1,可以证明结果<5/2，特例不能算
My_Mathematics的方法很巧妙!

1年前

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sorryhdj 幼苗

共回答了11个问题 举报

奥数就是折磨人

1年前

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