在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，

如图：
①由平面BCB₁C₁∥平面ADA₁D₁，并且B、E、F、D₁四点共面，
∴ED₁∥BF，同理可证，FD₁∥EB，故四边形BFD₁E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD₁E是正方形，有ED₁⊥BE，这个与A₁D₁⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD₁E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：
本题考点： 棱柱的结构特征．

考点点评： 本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了空间信息能力和逻辑思维能力．