大一高数求解答!证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限

大一高数求解答!证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限
证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限.（提示：利用a^2+b^2≥2ab 证明 [Xn]单调有界）

好胆别走 1年前已收到2个回答举报

心不再炎幼苗

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Xn+1=1/2(Xn+2/Xn)≥√2,n∈N
Xn+1-Xn=1/2(2/Xn-Xn),Xn≥√2,n＞1,单调递减
∴Xn+1-Xn≤1/2(2/√2-√2)=0,n＞1,
∴数列{Xn}单调递减有下界
∴数列{Xn}收敛.
limXn+1=lim1/2(Xn+2/Xn)
设limXn=A
则,A=1/2(A+2/A)
∴A=√2

1年前

wshicheng 幼苗

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Xn+1=1/2(Xn+2/Xn)≥1/2*2√2=√2
Xn+1/Xn=1/2(1+2/Xn²)≤ 1
所以{Xn}单调递减
又X1=a，所以{Xn}有界
所以收敛
设极限为x
则x=1/2(x+2/x)
x=√2

1年前

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