求函数图形体积把星形线大括号x=a(cost)^3 y=a(sint)^3 所围成的图形绕x轴旋转,计算所得旋转体体积

可以用参数方程 也可以用坐标方程来解 这里 我先用坐标方程解 明天补上参数方程解法 y^2/3+x^2/3=a^2/3
y^2=（a^2/3-x^2/3）^3 x属于 [-a,a]
旋转体的体积 V= 在[-a,a]上对 ∫πy^2 dx = ∫π（a^2/3-x^2/3）^3dx=32πa^3/105
今天把第二种答案附上 希望对各位有用
V= ∫πy^2 dx 积分区间 [-a,a]
= 2∫ π（a(sint)^3）^2 da(cost)^3 积分区间[0,π/2]以下都是这个积分区间
=6πa^3∫ （a(sint)^3）^2 cost^2sintdt
=6πa^3∫ sint^7(1-sint^2)dt
=6πa^3∫ sint^7-sint^9dt
=6πa^3(6*4*2/7*5*3-8*6*4*2/9*7*5*3)
288*πa^3/945=πa^3*96/315=πa^3*32/105

星形线为对称图形,
第一象限:
y = a (1 - x^(2/3)/a^(2/3))^(3/2)
与xoy轴所夹面积的重心高度:
y = ∫((a (1 - x^(2/3)/a^(2/3))^(3/2) x) d x)/a积分区域(0,a)
y = (8 a^2)/105
所以
V = 2π 2a (8 a^2)/105
=(32 a^3 π )/105