（2012•蓝山县模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（2012•蓝山县模拟）已知椭圆C：
+
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
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解题思路：（1）利用椭圆的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入题意方程，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，即可求得结论．
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）分类讨论，再设直线方程代入题意方程，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，即可求得结论．
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
c
a＝
6
3
a＝
3∴b=1，…．（2分）
∴所求椭圆方程为
x2
3+y2＝1．…..（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，
设A（m，m）代入椭圆方程得：m＝
3
2…．（6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立
x2
3+y2＝1
y＝kx+m，
整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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