在平面直角坐标系中xoy中,椭圆x^2/4+y^2/3=1
在平面直角坐标系中xoy中,椭圆x^2/4+y^2/3=1
2）过点F且斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点，若直线OA，OB与直线x=4分别交于M,N两点，线段MN的中点R,线段AB的中点为Q，证明：直线RQ过定点
2）过点F且斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点，若直线OA，OB与直线x=4分别交于M,N两点，线段MN的中点R,线段AB的中点为Q，证明：直线RQ过定点
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设A(x1,y1)，B(x2,y2)，当AB不垂直于x轴时
直线AB的方程为：y=k(x-1)，代入椭圆方程，得：
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
直线OA、OB的方程分别为：y=y1x/x1，y=y2x/x2
得：M(4,4y1/x1)，N(4,4y2/x2)
由x1x2=(4k²-12)/(4k²+3)，x1+x2=8k²/(4k²+3)
x2y1+x1y2=k(x1-1)x2+k(x2-1)x1=2kx1x2-k(x1+x2)=-24k/(4k²+3)
则：4(x2y1+x1y2)/x1x2=-24k/(3-k²)
故R(4, -12k/(k²-3))
由y1+y2=k(x1+x2)-2k=-6k/(4k²+3)
得到Q(4k²/(4k²+3), -3k/(4k²+3))
RQ的方程为：
y+12k/(k²-3)=-15k(x-4)/4(k²-3)
整理得：
4(k²-3)y+k(15x-12)=0
当15x-12=0,y=0，即x=4/5,y=0时，直线方程恒成立，故直线RQ过定点(4/5,0)
当AB垂直于x轴时，A(1,3/2)，B(1,-3/2)，Q(1,0)，M(4,6)，N(4,-6)，R(4,0)，直线QR的方程为y=0，也经过点(4/5,0)，故直线RQ恒过定点(4/5,0)
直线AB的方程为：y=k(x-1)，代入椭圆方程，得：
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
直线OA、OB的方程分别为：y=y1x/x1，y=y2x/x2
得：M(4,4y1/x1)，N(4,4y2/x2)
由x1x2=(4k²-12)/(4k²+3)，x1+x2=8k²/(4k²+3)
x2y1+x1y2=k(x1-1)x2+k(x2-1)x1=2kx1x2-k(x1+x2)=-24k/(4k²+3)
则：4(x2y1+x1y2)/x1x2=-24k/(3-k²)
故R(4, -12k/(k²-3))
由y1+y2=k(x1+x2)-2k=-6k/(4k²+3)
得到Q(4k²/(4k²+3), -3k/(4k²+3))
RQ的方程为：
y+12k/(k²-3)=-15k(x-4)/4(k²-3)
整理得：
4(k²-3)y+k(15x-12)=0
当15x-12=0,y=0，即x=4/5,y=0时，直线方程恒成立，故直线RQ过定点(4/5,0)
当AB垂直于x轴时，A(1,3/2)，B(1,-3/2)，Q(1,0)，M(4,6)，N(4,-6)，R(4,0)，直线QR的方程为y=0，也经过点(4/5,0)，故直线RQ恒过定点(4/5,0)
1年前 追问
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