如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一

小题1:所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．（2分）
小题2:画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）．（3分）
小题3:连P ₁ A、P ₁ D、P ₁ B、P ₁ C和P ₂ D、P ₂ B，根据题意，

∠AP ₁ D=∠AP ₁ B，∠DP ₁ C=∠BP ₁ C，
∴∠AP ₁ B+∠BP ₁ C=180度．
∴P ₁ 在AC上，
同理，P ₂ 也在AC上．
在△DP ₁ P ₂ 和△BP ₁ P ₂ 中，
∠DP ₂ P ₁ =∠BP ₂ P ₁ ，∠DP ₁ P ₂ =∠BP ₁ P ₂ ，P ₁ P ₂ 公共，
∴△DP ₁ P ₂ ≌△BP ₁ P ₂ ．
所以DP ₁ =BP ₁ ，DP ₂ =BP ₂ ，于是B、D关于AC对称．
设P是P ₁ P ₂ 上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．（5分）

（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P ₁ A、P ₁ D、P ₁ B、P ₁ C和P ₂ D、P ₂ B，根据题意∠AP ₁ D=∠AP ₁ B，∠DP ₁ C=∠BP ₁ C∴∠AP ₁ B+∠BP ₁ C=180度．∴P ₁ 在AC上，同理，P ₂ 也在AC上，再利用ASA证明△DP ₁ P ₂ ≌△BP ₁ P ₂ 而，那么△P ₁ DP ₂ 和△P ₁ BP ₂ 关于P ₁ P ₂ 对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点