（2012•历下区一模）已知：如图，平面直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上
（2012•历下区一模）已知：如图，平面直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（P与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当
点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1
（1）BC、AP1的长；
（2）①求过B、P1、D三点的抛物线的解析式；
②求当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由．
点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1（1）BC、AP1的长；
（2）①求过B、P1、D三点的抛物线的解析式；
②求当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由．
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解题思路：（1）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP1A∽Rt△CAB．即可求出AP1的长；
（2）①把点B、P1、D的坐标分别代入抛物线解析式y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求该抛物线的解析式；
②根据①的抛物线的解析式求得对称轴方程．然后利用相似三角形△AFP∽△ADC的对应边的比成比例来求r的值；
（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系．
（2）①把点B、P1、D的坐标分别代入抛物线解析式y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求该抛物线的解析式；
②根据①的抛物线的解析式求得对称轴方程．然后利用相似三角形△AFP∽△ADC的对应边的比成比例来求r的值；
（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系．
（1）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴[AB/BC]=
AP1
AB，AP1=
AB2
BC=
22
4=1；
（2）易求B（0，1）、P1（1，3）、D（4，3）．
设过B、P1、D三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），则
1=c
3=a+b+c
3=16a+4b+c，
解得，
a=-
1
2
b=
5
2
c=1，
所以抛物线解析式为：y=-[1/2]x2+[5/2]x+1；
②在Rt△ABP1中，∵AB=2，AP1=1，
∴BP1=
5，
当⊙P和⊙E相切时，PF=PE-EF=
5-1；
∵抛物线解析式为y=-[1/2]x2+
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题综合考查了函数解析式，及直线与圆、圆与圆的位置关系．圆与圆的位置关系有：相离（外离，内含），相交、相切（外切、内切），直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样一来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．
1年前
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