（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且O

（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）①直接写出点E的坐标：

（1，[1/2]）

．
②求证：AG=CH．
（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

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ken_浪幼苗

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解题思路：（1）①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标；②推出CE=AE，BC∥OA，推出∠HCE=∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可；
（2）连接DE并延长DE交CB于M，求出DO=OC=[1/2]OA，证△CME≌△ADE，求出CM=AD=1，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH=HF=x，推出（1-x）²+（[1/2]）²=（[1/2]+x）²，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y=kx+b，把G、H的坐标代入求出即可；
（3）连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO=∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE=∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出[PN/BA＝

GA]，设半径为r，代入求出即可．

（1）①E的坐标是：（1，[1/2]），
故答案为：（1，[1/2]）；

②证明：∵矩形OABC，
∴CE=AE，BC∥OA，
∴∠HCE=∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中

∠HCE＝∠EAG
CE＝AE
∠HEC＝∠GEA，
∴△CHE≌△AGE，
∴AG=CH．

（2）如图2，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，
∵DO=OC=1=[1/2]OA，
∴D是OA的中点，
∵BC∥OA，
∴∠MCE=∠DAE，
∵在△CME和△ADE中

∠MCE＝∠DAE
CE＝AE
∠MEC＝∠DEA，
∴△CME≌△ADE，
∴CM=AD=2-1=1，
∵BC∥OA，∠COD=90°，
∴四边形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵HG切⊙O于F，E（1，[1/2]），
∴可设CH=HF=x，FE=ED=[1/2]MD，
在Rt△MHE中，有MH²+ME²=HE²，
即（1-x）²+（[1/2]）²=（[1/2]+x）²，
解得x=[1/3]，
∴H（[1/3]，1），OG=2-[1/3]=[5/3]，
∴G（[5/3]，0），
设直线GH的解析式是：y=kx+b，

点评：
本题考点：切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．

1年前

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