向量组证明问题设A,B分别为mr,rn阶矩阵,且AB=0,求证(1)B的各列向量是齐次线性方程组AX=0的解(2)若

向量组证明问题
设A,B分别为m*r,r*n阶矩阵,且AB=0,求证
(1)B的各列向量是齐次线性方程组AX=0的解
(2)若R(A)=r,则B=0
(3)若B不等于0,则A的各列向量线性相关

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证明:设B=(b1,b2,...,bn)
则 AB = (Ab1,Ab2,...,Abn) = 0
所以 Abi=0,i=1,2,...,n
所以 B的列向量是齐次线性方程组AX=0的解.(1)得证.
(2)若 r(A)=r,则 AX=0 只有零解
由(1)知B的列向量都是零向量,故B=0.
(3)若B≠0,则AX=0有非零解
所以 r(A)

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