（2013•梧州模拟）如图，已知直线y=−12x+1交坐标轴于A，B 两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，

解题思路：（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，证△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ=OA=DM=1，CZ=OB=MA=2，即可求出答案；
（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，把A、D、C的坐标代入求出即可；
（3）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可．

（1）∵直线y=−
1
2x+1，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
∴OA=1，OB=2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中


∠OAB＝∠ZBC
∠AOB＝∠BZC
AB＝BC，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；

（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴

c＝1
a+b+c＝3
9a+3b+c＝2，
解得：a=-[5/6]，b=[17/6]，c=1，
∴抛物线的解析式为y=-[5/6]x²+[17/6]x+1；

（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=
5，
①当点A运动到x轴上点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA=[OA/OF]=[1/2]，
∴tan∠GFB′=[GB′/FB′]=
GB′

5t=[1/2]，
∴GB′=

5
2t，
∴S_△FB′G=[1/2]FB′×GB′=[1/2]•
5t•

5
2t，
∴S=[5/4]t²；
②当点C运动x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB=A′B′=
5，
∴A′F=
5t-
5，
∴A′G=

5t−
5
2，
∵B′H=

5
2t，
∴S_{四边形A′B′HG}=[1/2]（A′G+B′H）•A′B′=[1/2]•（

5t−
5
2+

5
2t）•
5，
∴S=[5/2]t-[5/4]；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=

5t−
5
2，
∴GD′=
5-

5t−
5
2=
3
5−
5t
2，
∵S_△AOF=[1/2]×2×1=1，OA=1，∠AOF=∠GD′H=90°，∠AFO=∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴
S△GD′H
S△AOF=（[GD′/OA]）²，
∴S_△GA′F=（
3
5−
5t
2）²，
∴S_{五边形GA′B′CH}=（
5）²-（
3
5−
5t
2）²，
∴S=-[5/4]t²+[15/2]t-[25/4]．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，一次函数图象上点的特征，用待定系数法求出二次函数的解析式，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．