设函数f（x）在区间[0，1]上连续，并设∫10f(x)dx＝A，求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy

【解法一】交换积分顺序，可得

∫10dx
∫1x∫f(x)f(y)dy
=
∫10 dy
∫y0f(x)f(y) dx
=
∫10dx
∫x0f(y) f(x) dy （∵积分值与积分变量无关）
从而，
2
∫10dx
∫1x∫f(x)f(y)dy
=
∫10dx
∫1x∫f(x)f(y)dy+
∫10dx
∫x0f(y) f(x) dy
=
∫10dx(
∫ 1x +
∫ x0 ) f(x)f(y) dy
=
∫10dx
∫10f(x)f(y) dy
=
∫10f(x)dx
∫10f(y) dy
=A²．
所以
∫10dx
∫1x∫f(x)f(y)dy=
1
2A2 ．
【解法2】利用分部积分法．
I=
∫10dx
∫1x∫f(x)f(y)dy
=