已知f（x）在[0，1]上连续，对任意x，y都有|f（x）-f（y）|＜M|x-y|，证明|∫10f（x）dx-[1/n

∫

1 0

f(x)dx＝

n

k＝1

∫

k n k−1 n

f(x)dx

1

n

n

k＝1

f(

k

n

)

n

k＝1

∫

k n k−1 n

f(

k

n

)dx

证明：因为
∫10f(x)dx＝
n

k＝1
∫
k
n
k−1
nf(x)dx，
1
n
n

k＝1f(
k
n)=
n

k＝1
∫
k
n
k−1
nf(
k
n)dx，所以


|
∫10f(x)dx−
1
n
n

k＝1f(
k
n)|＝|
n

k＝1
∫
k
n
k−1
n[f(x)−f(
k
n)]dx|
≤
n

k＝1
∫
k
n
k−1
n|f(x)−f(
k
n)|dx≤
n

k＝1
∫
k
n
k−1
nM|(x−
k
n)|dx
＝M
n

k＝1
∫
k
n

点评：
本题考点： 定积分的几何意义．

考点点评： 本题考查了积分不等式的证明，主要利用了不等式的积分区域可加性、线性性质以及如下性质：|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx．