双曲线x29−y216＝1的左、右焦点为F1、F2，则左焦点F1到渐近线的距离为______，若双曲线上一点P使得∠F1

解题思路：先求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算左焦点F₁到渐近线的距离即可，再设双曲线上一点P（x，y），若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为锐角，则

PF1

•

PF2

＞0，由此列不等式解得P点横坐标的取值范围

双曲线
x2
9−
y2
16＝1的左、右焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0），渐近线方程为y=±[4/3]x
∴F₁到渐近线的距离为
|4×(−5)+3×0|

32+42=4
设P（x，y），则

PF1=（x+5，y），

PF2=（x-5，y），
∵cos∠F₁PF₂=


PF1 •

PF2
|

PF1||

PF2|＞0
∴

PF1•

PF2＞0
∴（x+5，y）•（x-5，y）＞0 即x²+y²-25＞0 又
x2
9−
y2
16＝1
∴[25/9]x²＞41，解得x＜−
3
41
5或 x＞
3
41
5
故答案为：x＜−
3
41
5或 x＞
3
41
5．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考察了双曲线的标准方程及几何意义，解题时要能熟练的由双曲线定义和标准方程解焦点三角形问题