（2011•江西模拟）设P：f(x)＝ln(2x)+13mx3−32x2+4x+1在[16，6]内单调递增，q：m≥59

解题思路：首先由f（x）在[

1

6

，6]内单调递增，得f′（x）≥0恒成立；然后利用分离参数的方法，得到m≥−

1

x3

−

4

x2

+

3

x

恒成立；再利用换元法，令t=[1/x]，得g（t）=−

1

x3

−

4

x2

+

3

x

=-t³-4t²+3t；随后结合导数法求出g（t）的最大值，即得m的取值范围；最后判断出q是p的充分不必要条件．

∵f(x)＝ln(2x)+
1
3mx3−
3
2x2+4x+1在[
1
6，6]内单调递增，
∴在[
1
6，6]内，f′（x）=[1/x]+mx²-3x+4=
mx3−3x2+4x+1
x≥0恒成立．
即mx³-3x²+4x+1≥0，亦即m≥−
1
x3−
4
x2+
3
x恒成立．
令t=[1/x]，则−
1
x3−
4
x2+
3
x=-t³-4t²+3t，
设g（t）=-t³-4t²+3t，则g′（t）=-3t²-8t+3．
由g′（t）=-3t²-8t+3=0得t=-3或[1/3]．
∵x∈[
1
6，6]∴t∈[
1
6，6]
∴在[[1/6]，[1/3]）内，g′（t）＞0；在（[1/3]，6]内，g′（t）＜0．
∴[g（t）]_max=g（[1/3]）=-[1/27]-[4/9]+1=[14/27]．
∴m≥[14/27]即可．
又∵[14/27≤
5
9]，∴q是p的充分不必要条件．
故选B．

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查了导数法解决函数的单调性及最值，同时考查了换元法、分离参数法及充分必要条件的知识，是一道非常综合的题目．