已知函数f（x）=2 x +a•2 -x 是定义域为R的奇函数，

（1）∵f（x）=2 ^x +a•2 ^-x 是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2 ^x -2 ^-x ，
∀x ₁ ，x ₂ ∈R，且x ₁ ＜x ₂ ，
f( x 2 )-f( x 1 )=( 2 x 2 - 2 - x 2 )-( 2 x 1 - 2 - x 1 )=( 2 x 2 - 2 x 1 )(1+
1
2 x 1 + x 2 )
∵x ₁ ＜x ₂ ，∴ 0＜ 2 x 1 ＜ 2 x 2 ，即 2 x 2 - 2 x 1 ＞0
∴f（x ₂ ）-f（x ₁ ）＞0即f（x ₂ ）＞f（x ₁ ），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．
（3）∵根据题设及（2）知f（t ² -2t）+f（t ² -k）＞0，
等价于f（t ² -2t）＞-f（t ² -k）=f（k-t ² ），即t ² -2t＞k-t ² ，∴2t ² -2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t ² -2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是 k＜-
1
2 ．