高一数学题(三角函数)某工人要从一块圆心角为45度的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径为1cm

连结OC.
设∠BOC=θ,则θ∈(0°,45°)
∴S长方ABCD=AB•BC
=(1•cosθ-1•sinθ)×(1•sinθ)
=sinθcosθ-sin2θ
=1/2sin2θ-1-cos2θ/2
=1/2 (sin2θ+cos2θ)- 1/2
=√2/2sin(2θ+45°)- 1/2
∵0°＜0＜45°→0°＜2θ＜90°→45°＜2θ+45°＜135°,
∴当2θ+45°=90°→θ=22.5°时,S长方形ABCD最大为√2-1/2 (平方米)
所以割出的长方形桌面的最大面积为√2-1/2平方米.

很简单，设在长方形在半径上的一边为x，长方形另一边为y，因为圆心角45度，所以x+y=1。xy开二次根号小于等于1/2（x+y）=1/2，所以长方形桌面最大面积为1/2。

设矩形在弧上的顶点与圆心连线和在半径上那条边的夹角为a
则两条边分别为
sina
cosa-sina
面积S
=(cosa-sina)sina
=cosa*sina-sina^2
=0.5(sin2a-1+cos2a)
=0.5(根号2*sin(2a+45度)-1)
<=0.5(根号2*1-1)
=(根号2-1)/2