已知：在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．

（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA=2，OB=4，试求C点的坐标．
（2）如图2，若点A的坐标为（-2

，0），点B的坐标为（0，-m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．试问：当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2m+2n-5

的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）如图3，E为x轴负半轴上的一点，且OB=OE，OF⊥EB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接EM交OF于点N，试探索：在线段EF、EN和MN中，哪条线段等于EM与ON的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明．

hansen30cn 1年前已收到1个回答举报

gdliang 幼苗

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解题思路：（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由条件就可以求出C的坐标．（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO=BP=OB-PO=m-（-n）=m+n为定值，从而可以得出结论2m+2n-53的值不变为-3．（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行线分线段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．

（1）如图（1）作CQ⊥OA于点Q，
∴∠AQC=90°
∵△ABC等腰Rt△，
∴AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠ACQ=∠BAO．
∴△AQC≌△BOA，
∴CQ=AO，AQ=BO．
∵OA=2，OB=4，
∴CQ=2，AQ=4，
∴OQ=6，
C（-6，-2）．
（2）如图（2）作DP⊥OB于点P，
∴∠BPD=90°，
∵△ABD等腰Rt△，
∴AB=BD，∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°，
∴∠ABO=∠BDP，
∴△AOB≌△BPD，
∴AO=BP，
∵BP=OB-PO=m-（-n）=m+n，
∴A（-2
3，0），
∴OA=2
3，
∴m+n=2
3，
∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO=BP=m+n=2
3，
∴整式2m+2n-5
3 的值不变为-
3．

（3）EN=
1
2（EM-ON）
证明：如图（3）在ME上截取MG=ON，连接BG，
∵△OBM是等边三角形，
∴BO=BM=MO，∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°，
∴EO=MO，∠EBM=105°，∠1=30°，
∵OE=OB，
∴OE=OM=BM．
∴∠3=∠EMO=15°，
∴∠BEM=30°，∠BME=45°，
∵OF⊥EB，
∴∠EOF=45°，
∴∠EOF=∠BME．
∴△ENO≌△BGM，
∴BG=EN．
∵ON=MG，
∴∠2=∠3，
∴∠2=15°，
∴∠EBG=90°
∴BG=
1
2EG，
∴EN=
1
2EG，
∵EG=EM-GM，
∴EN=
1
2（EM-GM），
∴EN=
1
2（EM-ON）

点评：
本题考点：等腰直角三角形；代数式求值；坐标与图形性质；等边三角形的性质．

1年前

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