（2013•房山区一模）在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90

解题思路：（Ⅰ）因为F为PC的中点，可联想连结AC，交BE于一点O，即可证明O点为AC的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行；
（Ⅱ）以E点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两条异面直线所成角为45°，结合给出的线段的长度，即可求出PE的长度；
（Ⅲ）求出两个平面FBE与BEA的法向量，利用两个平面法向量所成的角求二面角的余弦值．

（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
∵BC∥AD，BC＝
1
2AD，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE=BC．
∴四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点．
又F为PC中点，∴OF∥PA．∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF．∴PA∥平面BEF．
（Ⅱ）∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD．
易知 BCDE为正方形，∴AD⊥BE．
建立如图空间直角坐标系E-xyz，

设PE=t（t＞0），
则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，t），C（-1，1，0）
∴

PC＝(−1，1，−t)，

AB＝(−1，1，0)．
∵PC与AB所成角为45°，
∴|cos＜

PC，

AB＞|＝|


PC•

AB
|

PC||

AB||=|
(−1)×(−1)+1×1+(−t)×0

2+t2×
2|
=cos45°＝

2
2，
解得：t＝
2，∴PE＝
2．
（Ⅲ）∵F为PC的中点，所以F＝(−
1
2，
1
2，

2
2)，


EB＝(0，1，0)，

EF＝(−
1
2，
1
2，

2
2)，
设

n＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，
则



n•

EB＝y＝0


n•

EF＝−
1
2x+
1
2y+

2
2z＝0
取x=2，则z＝
2，得

n＝(2，0，
2)．


EP＝(0，0，
2)是平面ABE的法向量．
∴|cos＜

n，

EP＞|＝
|

n•

EP|
|

n||

EP|＝

3
3．
由图可知二面角E-AC-B的平面角是钝角，
所以二面角E-AC-B的余弦值为−

3
3．

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查了线面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的余弦值，解答的关键是空间坐标系的正确建立，同时需要注意的是平面法向量所成的角和二面角的关系，此题是中档题．