湖北省黄冈竞赛题.已知x+1=\sqrt{5x},则\sqrt{\frac{x²}{{x}^{4}+x

两边平方
x²+2x+1=5x
x²-3x+1=0
或者x²=3x-1 (1)
3x=x²+1 (2)
再平方
x^4=9x²-6x+1
由(1)式
=9x²-2(x²+1)+1
=7x²-1 (3)
由(3)式
sqrt{frac{x²}{{x}^{4}+x²+1}}
=sqrt{frac{x²}{7x²-1+x²+1}}
=sqrt{frac{x²}{8x²}}
=sqrt{frac{1}{8}}
由(1)式
sqrt{frac{x}{x²+3x+1}}
=sqrt{frac{x}{3x-1+3x+1}}
=sqrt{frac{x}{6x}}
=sqrt{frac{1}{6}}
然后相加
=frac{sqrt{2}}{4}+frac{sqrt{6}}{6}