(2007•黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,83),点

(2007•黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8
3
),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动设t(0<t≤8)秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当a=3,OD=
4
3
3
时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明.
wq2351 1年前 已收到1个回答 举报

wlsk_888 春芽

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解题思路:(1)已知了∠AOC的度数,根据菱形的性质即可得出∠AOB=30°,连接AC交BO于M,在直角三角形OAM中,OM=[1/2]OB,可根据OM的长和∠AOM的度数即可求出OA的长.
(2)同(1)在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长,即可得出A点的坐标.根据菱形的对称性,可知A、C关于y轴对称,由此可得出C点的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)当a=3时,OQ=3t,BP=t,已知了OD的长,可求出BD的长,然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM,OM,BP,OQ的比例关系式,可求出t的值.即可按(2)的方法求出Q的坐标,用待定系数法可得出直线DQ的解析式.
(4)本题要分情况讨论:
①当△ODQ∽△OBA时,PQ∥AB,四边形AQPB是平行四边形,因此BP=AQ,可据此求出a的值.
②当△ODQ∽△OAB时,∠ODQ=∠OAB.分两种情况:
一:当P、B不重合时;二:当P、B重合时.
方法一样,和(3)类似,先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值,然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值.然后进行判断即可.

(1)因为四边形ABCO是菱形,∠AOC=60°,
所以∠AOB=30°.
连接AC交OB于M,则OM=[1/2]OB,AM⊥OB
所以AM=tan30°×OM=4.
所以,OA=AM÷sin30°=8,

(2)由(1)可知A(4,4
3),B(0,8
3),C(-4,4
3)
设经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+c
所以16a+c=4
3,c=8
3,
∴a=-

3
4
所以经过A、B、C三点的抛物线为y=-

3
4x2+8

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 本题是点的运动性问题,考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点,综合性强,难度较高.

1年前

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