设n为正整数，规定：fn(x)＝f{f[…f(x)…]}n个f，已知f(x)＝2(1−x)(0≤x≤1)x−1(1＜x≤

解题思路：（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，
当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x求解；
当1＜x≤2时，由x-1≤x求解，取后两个结果取并集．
（2）先求得f（0），f（1），f（2），
再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；
f（f（2））．再观察与自变量是否相等即可．
（3）看问题有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出f1(

8

9

)＝2(1−

8

9

)＝

2

9

，f2(

8

9

)＝f(f(

8

9

))＝f(

2

9

)＝

14

9

，f3(

8

9

)＝f(f2(

8

9

))＝f(

14

9

)＝

14

9

−1＝

5

9

，f4(

8

9

)＝f(f3(

8

9

))＝f(

5

9

)＝2(1−

5

9

)＝

8

9

，观察是以4为周期，有f4k+r(

8

9

)＝fr(

8

9

)（k，r∈N）求解．．

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥[2/3]．
∴[2/3]≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|[2/3]≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f₃（x）=x．
（3）f1(
8
9)＝2(1−
8
9)＝
2
9，
f2(
8
9)＝f(f(
8
9))＝f(
2
9)＝
14
9，
f3(
8
9)＝f(f2(
8
9))＝f(
14
9)＝
14
9−1＝
5
9，
f4(
8
9)＝f(f3(
8
9))＝f(
5
9)＝2(1−
5
9)＝
8
9，
一般地，f4k+r(
8
9)＝fr(
8
9)（k，r∈N）．
∴f2008(
8
9)＝f0(
8
9)＝
8
9

点评：
本题考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评： 本题主要考查求解分段函数构造的不等式，要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式．

很简单一二问 第三问你一项一项列出来可以发现函数的循环性 就很容易解出来 许多符号我不知道打 你解一下