用初等方法证明E^x-1的等价无穷小量是x.

用初等方法证明E^x-1的等价无穷小量是x.
我看一些用罗比特法则证明的，感觉不对，因为求导过程中，计算e^x的导数是e^x,就是要用到e^x-1~x的。请数学达人解惑。
PS：本人刚上大学，学识短浅，请别用太深的定理。
liangyi1984 1年前 已收到2个回答 举报
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zousongf 幼苗

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做代换e^x-1=y x=ln(y+1) x→0时 y→0
x→0
(e^x-1)/x
=y/ln(1+y)
=1/(ln(1+y)/y)
=1/ln(1+y)^(1/y)
=1/ln(1+1/(1/y))^1/y
=1/lne
=1/1
=1
只用到了极限的四则运算法则和当x→∞时 (1+1/x)^x→e
应该最基础了

1年前

10

honh467 幼苗

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x趋向于0时，ln(1+x)~x，这个容易理解吧
这个用洛必塔法则limx/ln(1+x)=lim1/(1+x)^-1=lim(1+x)=1
所以x趋向于0时，limx=limln(1+x)
e^limx=e^limln(1+x)
lime^x=lime^ln(1+x)
lime^x=lim(1+x)
lim(e^x-1)=lim(x)=0

1年前

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