已知二次函数y= 1 2 x 2 +bx+c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．

（1）∵二次函数y=
1
2 x ² +bx+c的图象过点A（-3，6），B（-1，0），
得


9
2 -3b+c=6

1
2 -b+c=0 ，
解得

b=-1
c=-
3
2 ．
∴这个二次函数的解析式为：
y=
1
2 x ² -x-
3
2 ．（4分）
由解析式可求P（1，-2），C（3，0），（5分）
画出二次函数的图象；（6分）

（2）解法一：
易证：∠ACB=∠PCD=45°，
又已知：∠DPC=∠BAC，
∴△DPC ∽ △BAC，（8分）
∴
DC
BC =
PC
AC ，
易求AC=6
2 ，PC=2
2 ，BC=4，
∴DC=
4
3 ，
∴OD=3-
4
3 =
5
3 ，
∴D（
5
3 ，0）．（10分）
解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
设抛物线的对称轴交x轴于F，
亦可证△AEB ∽ △PFD，（8分）
∴
PE
PF =
EB
FD ，
易求：AE=6，EB=2，PF=2，
∴FD=
2
3 ，
∴OD=
2
3 +1=
5
3 ，
∴D（
5
3 ，0）；（10分）

（3）存在．
①过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T，
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，
∴MG=MH=OM，（11分）
又∵MC=
2 OM且OM+MC=OC，
∴
2 OM+OM=3，
得OM=3
2 -3，
∴M（3
2 -3，0）（12分）
②在x轴的负半轴上，存在一点M′，
同理OM′+OC=M′C，OM′+OC=
2 OM′
得OM′=3
2 +3
∴M′ (-3
2 -3，0) （14分）
即在x轴上存在满足条件的两个点．

1年前